Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），直線CM∥x軸（如圖所示），點(diǎn)B與點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線y=x+b（b為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)B，且與直線CM相交于點(diǎn)D，連接OD。

（1）求b的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P在x軸的正半軸上，若△POD是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的圓P與圓O外切，求圓O的半徑。

Answer 1

解：（1）B與A（1，0）關(guān)于原點(diǎn)對稱， ∴B（-1，0）， ∵y=x+b過點(diǎn)B， ∴-1+b=0，b=1， ∴y=x+1， 當(dāng)y=4時(shí)，x+1=4，x=3， ∴D（3，4）； （2）作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則OE=3，DE=4， ∴， 若△POD為等腰三角形，則有以下三種情況， ①以O(shè)為圓心，OD為半徑作弧交x軸的正半軸于點(diǎn)P1，則OP1=OD=5， ∴P1（5，0）； ②以D為圓心，DO為半徑作弧x軸的正半軸于點(diǎn)P2，則DP2=DO=5， ∵DE⊥OP2， ∴P2E=OE=3， ∴OP2=6， ∴P2（6，0）； ③取OD的中點(diǎn)K，過K作OD的垂線交x軸的正半軸于點(diǎn)P3，則OP3=DP3，易知△OKP3∽△DCO， ∴， ∴， ∴， 綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是P1（5，0），P2（6，0）； （3）①當(dāng)P1（5，0）時(shí)，P1E=OP1-OE=5-3=2，DE=4， ∴， ⊙P的半徑為， ∵⊙O與⊙P外切， ∴⊙O的半徑為5-； ②當(dāng)P2（6，0）時(shí)，P2D=DO=5，OP2=6， ∴⊙P的半徑為5， ∵⊙O與⊙P外切， ∴⊙O的半徑為1； ③當(dāng)時(shí)，P3D=OP3=， ∴⊙P的半徑為， ∵⊙O與⊙P外切， ∴⊙O的半徑為O，即此時(shí)⊙O不存在。