Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D是拋物線上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（

1

2

，-

7

4

），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的圓交AC于F，交直線y=x+3于點(diǎn)E．試判斷△BEF的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）將D、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出A、P的坐標(biāo)，然后根據(jù)角度判定△BEF的形狀．

解答：解：（1）根據(jù)題意有：

1 4 + 1 2 b+c=- 7 4 1+b+c=0

，
解得：

b=2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3．

（2）△BEF為等腰直角三角形．
證明：如圖，當(dāng)y=0時(shí)，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）．
∵直線y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，
∴直線y=x+3經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），交y軸于點(diǎn)P（0，3）．
∴OA=OP，∴∠OAP=45°．當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+2x-3=-3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）．∴OA=OC，∴∠OAC=45°．∴∠EAF=90°，∴∠EBF=90°．
∵∠FEB=∠OAC=45°，∴∠EFB=45°，∴BE=BF．
∴△BEF為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題難度一般，主要考查的是利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式求出相關(guān)坐標(biāo)．