Question

已知：如圖，ABCD為正方形，以D點(diǎn)為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點(diǎn)，連接AC、AP、CP，井延長CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F、三點(diǎn)，連接OF．
（1）求證：△AEP∽△CEA；
（2）判斷線段AB與OF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）求BH：HC．

Answer 1

（1）證明：∵ABCD為正方形，
∴∠CAB=∠ACB=45°，∠DCB=90°，
∴AB是⊙D的切線，A為切點(diǎn)，
∴∠BCE=∠CAP，
∴∠PAE=∠ACE，
∵∠AEP=∠AEC，
∴△PAE∽△ACE；

（2）∵∠CPF=∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAP=45°，
∴∠COF=90°，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOF=∠B=90°，
∴AB∥OF；

（3）∵AB∥OF，
∴BH：OH=AB：OF=2：1，
∵CO=OB=OH+HB，
∴BH：HC=2OH：4OH=1：2．