Question

如圖所示，已知拋物線的圖象與y軸相交于點B（0，1），點C（m，n）在該拋物線圖象上，且以BC為直徑的⊙M恰好經(jīng)過頂點A。
（1）求k的值；
（2）求點C的坐標；
（3）若點P的縱坐標為t，且點P在該拋物線的對稱軸l上運動，試探索：
①當(dāng)S₁＜S＜S₂時，求t的取值范圍（其中：S為△PAB的面積，S₁為△OAB的面積，S₂為四邊形OACB的面積）；
②當(dāng)t取何值時，點P在⊙M上。（寫出t的值即可）

Answer 1

解：（1）∵點B（0，1）在的圖象上， ∴， ∴k=1；
（2）由（1）知拋物線為： ∴頂點A為（2，0）， ∴OA=2，OB=1， 過C（m，n）作CD⊥x軸于D，則CD=n，OD=m， ∴AD=m-2， 由已知得∠BAC=90°， ∴∠CAD+∠BAO=90°， 又∠BAO+∠OBA=90°， ∴∠OBA=∠CAD， ∴Rt△OAB∽Rt△DCA， ∴，即（或tan∠OBA= tan∠CAD，，即）， ∴n=2（m-2）； 又點C（m，n）在上， ∴ ∴， 即 ∴m=2或m=10； 當(dāng)m=2時，n=0， 當(dāng)m=10時，n=16； ∴符合條件的點C的坐標為（2，0）或（10，16）；
（3）①依題意得，點C（2，0）不符合條件， ∴點C為（10，16）， 此時， 又點P在函數(shù)圖象的對稱軸x=2上， ∴P（2，t），AP=|t| ∴=|t|， ∵， ∴當(dāng)t≥0時，S=t， ∴1<t<21， ∴當(dāng)t<0時，S=-t， ∴-21<t<-1， ∴t的取值范圍是：1<t<21或-21<t<-1， ②t=0，1，17。