Question

如圖，已知直角坐標系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸正半軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1，這條曲線是函數(shù)的圖像在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F。

（1）分別求出點E、F的坐標（用a的代數(shù)式表示點E的坐標，用b的代數(shù)式表示點F的坐標，只須寫出結(jié)果，不要求寫出計算過程）；
（2）求△OEF的面積（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）；
（3）分別計算AF與BE的值（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）；
（4）△AOF與△BOE是否一定相似，請予以證明；如果不一定相似或一定不相似，簡要說明理由。

Answer 1

解：（1）點E（a，1-a），點F（1-b，b）；
（2）
=ab-a（1-a）-b（1-b）-（a+b-1）²=（a+b-1）；
（3）BE=，AF=；
（4）△AOF∽△BOE，
證明：∵OA=OB=1，
∴∠FAO=∠EBO，
∵點P（a，b）是曲線上一點，
∴2ab=1，即AF·BE=1，
又∵OA·OB=1，
∴，
∴△AOF∽△BOE。