Question

4．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、B（0，4）．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動點(diǎn)，則當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，PC+PD的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)D、C的坐標(biāo)，然后作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸與點(diǎn)P，由題意可知點(diǎn)O是CC′的中點(diǎn)，故此OP=$\frac{1}{2}DC$=1，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)之間的距離公式可求得C′D的長度即可．

解答 解：如圖所示；作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸與點(diǎn)P．

∵A（2，0）、B（0，4），點(diǎn)C、D分別為OA、AB的中點(diǎn)，
∴D（1，2）、C（1，0）．
∵點(diǎn)C′與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，
∴點(diǎn)C′（-1，0），PC=PC′．
∴O為CC′的中點(diǎn)．
∴OP=$\frac{1}{2}DC$=1．
∴P（0，1）．
∴PD+PC=PD+PC′=C′D．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知；C′D=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：（0，1）；2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題，明確點(diǎn)C′，P，D在一條直線上時(shí)PC+PD有最小值是解題的關(guān)鍵．