Question

如圖，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點D，使AD=AB，點G、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點．求證：DF=BE．

Answer 1

證法（-）：連接GF，
∵AD=AB，點G為AB邊的中點，
∴AD=BG=AB．
∴AD=AG．
又∵∠BAC=90°，即AF⊥BD，
∴DF=FG．
∵EF為△ABC的中位線，
∴EF=AB，EF∥AB．
∴BG=EF，BG∥EF．
∴四邊形BEFG為平行四邊形．
∴GF=BE．
∴BE=DF．

證法（二）：∵F，E是AC，BC的中點，
∴FE=AB（中位線定理）；
∵AD=AB，
∴AD=FE，
∵點F是AC中點，
∴AF=FC，
又∠DAF=∠CFE=90°，
∴△DAF≌△FEC，
∴DF=EC，
∴DF=BE．
分析：連接GF，易得AF是GD的中垂線，所以AD=AG．又∠BAC=90°，即AF⊥BD，所以DF=FG．因為EF為△ABC的中位線，所以BG=EF，BG∥EF，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以GF=BE．
點評：本題利用了中垂線的判定和性質，三角形中位線的性質，平行四邊形的判定和性質求解．