Question

9．我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．
（1）寫出一種你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的圖形的名稱長(zhǎng)方形，正方形．
（2）如圖（1），請(qǐng)你在圖中畫(huà)出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊，且對(duì)角線相等的所有勾股四邊形OAMB．
（3）如圖（2），以△ABC邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE=60°，且BE=BC，連結(jié)DE、DC，∠DCB=30°．求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析 （1）只要四邊形中有一個(gè)角是直角，根據(jù)勾股定理就有兩直角邊平方的和等于斜邊的平方，即此四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，由此可知，正方形、長(zhǎng)方形、直角梯形都是勾股四邊形．
（2）利用勾股定理計(jì)算畫(huà)出即可；
（3）首先證明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進(jìn)一步得出△BCE為等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步得出△DCE是直角三角形，問(wèn)題得解．

解答 解：（1）是勾股四邊形的圖形的名稱：長(zhǎng)方形，正方形；
故答案是：長(zhǎng)方形，正方形；

（2）如圖（1），點(diǎn)M（3，4）或M（4，3）；

（3）證明：如圖（2），連結(jié)EC．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△ABC≌△DBE，則BC=BE，AC=DE．
又∵∠CBE=60°，
∴△CBE是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，BC=EC
又∵∠DCB=30°
∴∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°，
∴DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查勾股定理，及考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．