Question

3．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB=$\sqrt{6}$，cos∠DCF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求四邊形AECF的面積．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）由EF垂直平分線段AC，可得AF=FC，EA=EC，再證明△AOF≌△COE（AAS），推出AF=CE，可得AF=CF=CE=AE，由此即可解決問題；
（2）求出EC的長，根據(jù)四邊形AECF的面積=EC×AB，計(jì)算即可；

解答 （1）證明：∵O是AC的中點(diǎn)，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠CEO}\\{∠AOF=∠COE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四邊形AECF是菱形； 

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=$\sqrt{6}$，
在Rt△CDF中，cos∠DCF=$\frac{CD}{CF}$，∠DCF=30°，
∴CF=$\frac{CD}{cos30°}$=2$\sqrt{2}$，
∵四邊形AECF是菱形，
∴CE=CF=2$\sqrt{2}$，
∴四邊形AECF的面積為：EC×AB=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，靈活運(yùn)用知識解決問題，屬于中考常考題型．