Question

15．△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CE是角平分線．
（1）如圖1，BE的垂直平分線分別交BE、BC于F、G，求證：BG=AE．
（2）如圖2，BF⊥CE于F，BF=2，求△EBC的面積．

Answer 1

分析 （1）連接EG，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得BG=EG，然后求出△BEG是等腰直角三角形，從而判斷出EG⊥BC，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得AE=EG，最后等量代換即可得證；
（2）延長BF、CA相交于點H，利用“角邊角”證明△BCF和△HCF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=HF，再求出△ACE和△ABH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=BH，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答 （1）證明：如圖，連接EG，
∵FG是BE的垂直平分線，
∴BG=EG，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴EG⊥BC，
∵∠A=90°，CE是角平分線，
∴AE=EG，
∴BG=AE；

（2）解：如圖，延長BF、CA相交于點H，
∵CE是角平分線，
∴∠BAF=∠HAF，
在△BCF和△HCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠HAF}\\{CF=CF}\\{∠BFC=∠HFC=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△HCF（ASA），
∴BF=HF=2，
∴BH=2+2=4，
∵∠H+∠ACE=∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠H=∠AEC，
在△ACE和△ABH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠AEC}\\{∠CAE=∠BAH=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABH（AAS），
∴CE=BH=4，
∴△EBC的面積=$\frac{1}{2}$CE•BF=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．