Question

如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（-1，0），點B在拋物線y=ax²+ax-2上
（1）點A的坐標為______，點B的坐標為______；
（2）拋物線的關系式為______；
（3）設（2）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；
（4）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，到達△AB′C″的位置．請判斷點B′、C″是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

解：由題意得
（1）∵AC=，CO=1，
∴AO==2，
∴A（0，2），
做BF⊥OC，
∵BC=AC，∠AOC=∠BFC，
∠CAO=∠BCF，
∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
故答案為：A（0，2），B（-3，1）．

（2）將B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=，
∴y=x²+x-2．

（3）如圖1，可求得拋物線的頂點D（-，）．
設直線BD的關系式為y=kx+b，將點B、D的坐標代入，
求得k=-，b=-，
∴BD的關系式為y=-x-．
設直線BD和x軸交點為E，則點E（，0），CE=．
∴△DBC的面積為S_CBE+S_CED=××1+××，
=．

（4）如圖2，過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，
過點C″作C″P⊥y軸于點P．
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點C′（2，1）；
將點B′、C′的坐標代入y=x²+x-2，可知點B′、C′在拋物線上．
（事實上，點P與點N重合）
分析：（1）求A點的坐標就是求OA的長，可在直角三角形OAC中，根據(jù)AC=，OC=1來求出OA的長，即可得出A的坐標．如果過B作x軸的垂線，假設垂足為F，那么△ACO≌△CBH，OA=CF，BF=OC，由此可求出B的坐標；
（2）將已經(jīng)求出的A，B的坐標代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)關系式即可求出D點的坐標．求△DBC的面積時，可將△DBC分成△CBE和△DCE兩部分（假設BD交x軸于E）．可先根據(jù)B，D的坐標求出BD所在直線的解析式，進而求出E點的坐標，那么可求出CE的長，然后以B，D兩點的縱坐標的絕對值分別作為△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面積；
（4）本題的關鍵是求出B′，C′兩點的坐標．過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C″作C″P⊥y軸于點P．然后仿照（1）中求坐標時的方法，通過證Rt△AB′M≌Rt△BAN來得出B′的坐標．同理可得出C′的坐標．然后將兩點的坐標分別代入拋物線的解析式中，進而可判斷出兩點是否在拋物線上．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、圖形旋轉(zhuǎn)變換等重要知識點；綜合性強，考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．