Question

已知，如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E在邊AB上，且∠DCE=30°，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE，AD，EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：條件：AD=BE；由△ACD≌△BCE，得出∠ACD=∠BCE=15°，作DM⊥AC于M，作∠CDF=∠ACD=15°，：則∠MFD=30°得出DM=

1

2

DF，設(shè)AD=BE=x，則AM=

1

2

x，DM=

3

2

x，DF=

3

x，MF=

3

2

x，求出CF=DF=

3

x，則AB=AC=2x+

3

x，得出DE=AB-AD-BE=

3

x，AD、BE、DE構(gòu)成的三角形為△NGH，作NO⊥GH于O，則OG=

1

2

GH=

3

2

x，求出∠GNO=60°，得出∠GNH=120°．

解答：解：條件：AD=BE；此時(shí)△ACD≌△BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵∠DCE=30°，
∴∠ACD=∠BCE=15°，
作DM⊥AC于M，作∠CDF=∠ACD=15°，交AC于F，如圖1所示：
則∠MFD=30°，
∴DM=

1

2

DF，
設(shè)AD=BE=x，
則AM=

1

2

x，DM=

3

2

x，DF=

3

x，MF=

3

2

x，CF=DF=

3

x，
∴AB=AC=

x

2

+

3

2

x+

3

x=2x+

3

x，
∴DE=AB-AD-BE=2x+

3

x-2x=

3

x，
AD、BE、DE構(gòu)成的三角形如圖2所示：
作NO⊥GH于O，
則OG=

1

2

GH=

3

2

x，
∴∠GNO=60°，
∴∠GNH=120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的運(yùn)用；培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用等腰三角形的知識(shí)解決問(wèn)題的能力．