Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線y=x²上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限內(nèi)．AE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，6），直線AB交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，直線DE與AB相交于點(diǎn)F，連結(jié)BD．設(shè)線段AE的長為a，△BED的面積為S．
（1）當(dāng)a=$\sqrt{3}$時(shí)，求S的值．
（2）求S關(guān)于a（a≠$\sqrt{6}$）的函數(shù)解析式．
（3）①若S=2$\sqrt{3}$時(shí)，求$\frac{AF}{BF}$的值；
②當(dāng)a＞$\sqrt{6}$時(shí)，設(shè)$\frac{AF}{BF}$=k，猜想k與a的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）由B點(diǎn)坐標(biāo)可求得BE長，再求得A點(diǎn)坐標(biāo)，可得AE長，再證明△ABE∽△CBO，可求得CO，結(jié)合條件可求得OD，可求得S的值；
（2）分0＜a＜$\sqrt{6}$和a＞$\sqrt{6}$兩種情況，可證明△BEA∽△BOD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得BE•DO，可求得S與a的關(guān)系式；
（3）①連接AD，根據(jù)同高兩三角形的面積比為底的比，可得到$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△BDF}}$=$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{AF}{BF}$=k，再利用面積的和差可得到k=$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$，再根據(jù)S=2$\sqrt{3}$可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，可求得△ADE的面積，從而可求得k的值，即可得到$\frac{AF}{BF}$；②連接AD，同①的方法可得到k和a的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：
（1）∵點(diǎn)A在二次函數(shù)y=x²的圖象上，AE⊥y軸于點(diǎn)E且AE=a，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），
當(dāng)a=$\sqrt{3}$時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，3），
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），
∴BE=OE=3．
∵AE⊥y軸，
∴AE∥x軸，
∴△ABE∽△CBO，
∴$\frac{AE}{CO}$=$\frac{BE}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴CO=2$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，
∴DO=CO=2$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$BE•DO=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$；
（2）（I）當(dāng)0＜a＜$\sqrt{6}$（如圖1），
∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，
∴△BOD≌△BOC，
∵△BEA∽△BOC，
∴△BEA∽△BOD，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{BO}{DO}$，即BE•DO=AE•BO=6a．
∴S=$\frac{1}{2}$BE•DO=$\frac{1}{2}$×6 a=3a；
（II）當(dāng)a＞$\sqrt{6}$時(shí)（如圖2），
同（I）解法得：
S=$\frac{1}{2}$BE•DO=$\frac{1}{2}$AE•OB=3a，
由（I）（II）得，S關(guān)于a的函數(shù)解析式為：S=3a（a＞0且a≠$\sqrt{6}$）；
（3）①如圖3，連接AD，
∵△BED的面積為2$\sqrt{3}$，
∴S=3a=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，$\frac{4}{3}$），
∵$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△BDF}}$=$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{AF}{BF}$=k，
∴S_△ADF=k•S_△BDF，
S_△AEF=k•S_△BEF，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{{S}_{△ADF}-{S}_{△AEF}}{{S}_{△BDF}-{S}_{△BEF}}$=$\frac{k（{S}_{△BDF}-{S}_{△BEF}）}{{S}_{△BDF}-{S}_{△BEF}}$=k，
∴k=$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{3}×\frac{4}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2}{9}$，即$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{9}$；
②k與a之間的數(shù)量關(guān)系為k=$\frac{1}{6}$a²，
如圖4，連接AD，
∵$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△BDF}}$=$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{AF}{BF}$=k，
∴S_△ADF=k•S_△BDF，S_△AEF=k•S_△BEF，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{{S}_{△ADF}+{S}_{△AEF}}{{S}_{△BDF}+{S}_{△BEF}}$=$\frac{k（{S}_{△BDF}+{S}_{△BEF}）}{{S}_{△BDF}+{S}_{△BEF}}$=k，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），S=3a，
∴k=$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{\frac{1}{2}•a•{a}^{2}}{3a}$=$\frac{1}{6}$a²（a＞$\sqrt{6}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了三角形的面積、比例的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解答本題的關(guān)鍵是熟練數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，難度較大．