Question

已知：函數y＝ax²－(3a＋1)x＋2a＋1(a為常數)．

(1)若該函數圖象與坐標軸只有兩個交點，求a的值；

(2)若該函數圖象是開口向上的拋物線，與x軸相交于點A(x₁，0)，B(x₂，0)兩點，與y軸相交于點C，且x₂－x₁＝2．

①求拋物線的解析式；

②作點A關于y軸的對稱點D，連結BC，DC，求sin∠DCB的值．

Answer 1

解：(1)①當a＝0時，y＝－x＋1，有兩個交點(0，1)，(1，0)；

②當a≠0且圖象過原點時，2a＋1＝0，a＝－，有兩個交點(0，0)，(1，0)；

③當a≠0且圖象與x軸只有一個交點時，令y＝0有：

△＝(3a＋1)²－4a(2a＋1)＝0．解得a＝－1，有兩個交點(0，－1)，(1，0)；

綜上得：a＝0或－或－1時，函數圖象與坐標軸有兩個交點．

(2)①依題意令y＝0時，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

由x₂－x₁＝2得：(x₂－x₁)²＝4，則()²－＝4．

化簡得：3a²－2a－1＝0．解得：a₁＝－，a₂＝1．

∵△＝(3a＋1)²－4a(2a＋1)＝(a＋1)²＞0，且a＞0，

∴a＝－應舍去．a＝1符合題意．

∴拋物線的解析式為y＝x²－4x＋3．(注：其它方法，請參照給分)  

②令y＝0得：x²－4x＋3＝0．解得：x＝1或3．

由x₂－x₁＝2＞0知x₂＞x₁，∴A(1，0)，B(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)．

如圖，過D作DE⊥BC于E，則有OB＝OC＝3，OD＝1．

∴DE＝BD·sin45°＝2．

而CD＝＝，

∴在Rt△CDE中，sin∠DCB＝＝＝．