Question

如圖，已知點(diǎn)A（3，0），以A為圓心作⊙A與y軸切于原點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為B，過B作⊙A的切線l．
（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點(diǎn)A及點(diǎn)C（0，9），求此拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，過D作⊙A的切線DE，E為切點(diǎn)，求DE的長；
（3）點(diǎn)F是切線DE上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△BFD與△EAD相似時，求出BF的長．

Answer 1

解：（1）由題意可知，拋物線的對稱軸為：x=6， ∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣6)2+k， ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）和C（0，9）， ∴， 解得：a=，k=﹣3， ∴ y=(x﹣6)2﹣3； （2）連接AE， ∵DE是⊙A的切線， ∴∠AED=90°，AE=3． ∵直線l是拋物線的對稱軸， 點(diǎn)A，D是拋物線與x軸的交點(diǎn)， ∴AB=BD=3， ∴AD=6． 在Rt△ADE中，DE2=AD2﹣AE2=62﹣32=27， ∴DE=； （3）當(dāng)BF⊥ED時， ∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF， ∴△AED∽△BFD， ∴，即， ∴BF=； 當(dāng)FB⊥AD時， ∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB， ∴△AED∽△FBD， ∴，即BF=， ∴當(dāng)△BFD與△EAD相似時，BF的長為或．