Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．點M在AB邊上以1單位長度/秒的速度從點A向點B運動，運動到點B時停止．連接CM，將△ACM沿著CM對折，點A的對稱點為點A′．
（1）當CM與AB垂直時，求點M運動的時間；
（2）當點A′落在△ABC的一邊上時，求點M運動的時間．

Answer 1

解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB，
∴∠A=∠A，∠AMC=∠ACB=90°，
∴△ACM∽△ABC，
∴，
∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴AM==，
∴點M運動的時間為：；

（2）①如圖1，當點A′落在AB上時，
此時CM⊥AB，
則點M運動的時間為：；
②如圖2，當點A′落到BC上時，CM是∠ACB平分線，
過點M作ME⊥BC于點E，作MF⊥AC于點F，
∴ME=MF，
∵S_△ABC=S_△ACM+S_△BCM，
∴AC•BC=AC•MF+BC•ME，
∴×3×4=×3×MF+×4×MF，
解得：MF=，
∵∠C=90°，
∴MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC，
∴，
即，
解得：AM=，
綜上可得：當點A′落在△ABC的一邊上時，點M運動的時間為：或．
分析：（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，CM與AB垂直，易證得△ACM∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得AM的長，即可得點M運動的時間；
（2）分別從當點A′落在AB上時與當點A′落在BC上時去分析求解即可求得答案．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想與分類討論思想的應用．