Question

已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4,﹣）,且與y軸交于點C（0,2）,與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A,B兩點的坐標；

（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P,使AP+CP的值最小？若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,請說明理由；

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣x+2 ,A（2,0）,B（6,0）；

（2）存在一點P,使AP+CP的值最小,AP+CP的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)知拋物線的頂點坐標,設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣,再根據(jù)拋物線經(jīng)過（0,2）求出拋物線解析式,進而求出A,B兩點的坐標；

（2）線段BC的長即為AP+CP的最小值.

試題解析：（1）由題意,設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）

∵拋物線經(jīng)過（0,2）

∴a（0﹣4）2﹣ =2

解得：a=

∴y=（x﹣4）2﹣

即拋物線的解析式為：y=x2﹣x+2

當y=0時,x2﹣x+2=0

解得：x=2或x=6

∴A（2,0）,B（6,0）；?

（2）存在,

由（1）知：拋物線的對稱軸l為x=4,

因為A、B兩點關于l對稱,連接CB交l于點P,則AP=BP,

所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6,0）,C（0,2）

∴OB=6,OC=2

∴BC=,

∴AP+CP=BC=

∴AP+CP的最小值為.

考點：二次函數(shù)相關．