Question

如圖，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，E是BC邊的中點，點P在對角線AC上，連接BP，EP，則△BPE周長最小值為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：連接BD，DE，則DE的長即為PE+PB的最小值，再根據(jù)菱形ABCD中，∠ABC=120°得出∠BCD的度數(shù)，進而判斷出△BCD是等邊三角形，故△CDE是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出DE的長，進而求得△BPE周長最小值．

解答：解：連接BD，DE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴B、D關(guān)于直線AC對稱，
∴DE的長即為PE+PB的最小值，
∵ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵E是BC的中點，
∴DE⊥BC，BE=CE=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∴DE=

CD2-EC2

=

42-22

=2

3

，
∴△BPE周長最小值=PE+BP+BE=DE+BE=2

3

+2．
故答案為2

3

+2．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、軸對稱的性質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)及兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．