Question

16．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交BE的延長線于F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
（2）如果AB⊥AC，試猜測四邊形ADCF是怎樣的特殊平行四邊形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用△AEF≌△DEB得到AF=DB，所以AF=DC，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）根據直角三角形的性質，可得AD與BC的關系，根據菱形的判定，可得答案．

解答 （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠EDB，∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EDB}\\{∠AFE=∠EBD}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
又∵BD=DC，
∴AF=DC，
∴四邊形ADCF為平行四邊；
（2）AB⊥AC，四邊形ADCF是菱形，理由如下：
由（1）可知，四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵D是AC的中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=CD，
∴四邊形ADCF是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定，利用了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，直角三角形的性質，菱形的判定．