Question

如圖，△ABC中，M是其內(nèi)一點，∠ABC=60°，∠MBC=20°，CM平分∠ACB，且∠ACB=20°，求∠BAM的度數(shù)．

Answer 1

解：如圖，過B在三角形外作∠ABN=20°，使BN交CA的延長線于N，連接MN，
∵∠ABC=60°，∠MBC=20°，
∴∠NBC=∠ABC+∠ABN=60°+20°=80°，
∠BNC=180°-∠ACB-∠NBC=180°-20°-80°=80°，
∴∠BNC=∠NBC，
∴BC=NC，
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM，
在△NMC與△BMC中，，
∴△NMC≌△BMC（SAS），
∴∠ANM=∠MBC=20°，
又∵∠MBN=∠ABC-∠MBC+∠ABN=60°-20°+20°=60°，
∠BNM=∠BNC-∠ANM=80°-20°=60°，
∴∠MBN=∠BNM=60°，
∴△BMN是等邊三角形，BM=BN，
又∠BAN=180°-∠BNC-∠ABN=180°-80°-20°=80°，
∴∠NBC=∠BAN，
∴BA=BN，
∴BA=BM，
∵∠ABM=∠ABC-∠MBC=60°-20°=40°，
∴∠BAM=（180°-∠ABM）=（180°-40°）=70°．
故答案為：70°．
分析：過B在三角形外作∠ABN=20°，且使BN交CA的延長線于N，通過計算可得∠BNC=∠NBC=80°，根據(jù)等角對等邊得到BC=NC，然后證明△NMC與△BMC全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，∠MNC=∠MBC=20°，求出∠BNM=60°，從而證明△BMN是等邊三角形，再根據(jù)計算數(shù)據(jù)∠ANB=∠BAN=80°，所以BA=BN，進而得到△ABM是等腰三角形，BA=BM，根據(jù)等腰三角形兩底邊相等求解即可．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形以及等腰三角形是解題的關(guān)鍵，計算數(shù)據(jù)的巧合也是本題的一大特點，本題難度較大．