Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，D為底邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），AH⊥BC于點(diǎn)H，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）試求AH、DE、DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若點(diǎn)D在AB延長線上，其他條件不變，那么上面的結(jié)論還存在嗎？說明你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：（1）連接CD，可知S_△ADC+S_△BCD=S_△ABC，可找到DE、DF、AH之間的關(guān)系；
（2）連接CD，可知S_△ADC-S_△BCD=S_△ABC，從而可找到DE、DF、AH之間的關(guān)系．

解答：解：（1）連接CD，如圖1，
∵AH⊥BC，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴S_△ADC=

1

2

AC•DE，S_△BCD=

1

2

BC•DF，S_△ABC=

1

2

BC•AH，
∵S_△ADC+S_△BCD=S_△ABC，
∴

1

2

AC•DE+

1

2

BC•DF=

1

2

BC•AH，
即AC•DE+BC•DF=BC•AH，
∵AC=BC，
∴DE+DF=AH；
（2）不存在，其關(guān)系為DE-DF=AH，理由如下：
連接CD，如圖2，
同理可得S_△ADC=

1

2

AC•DE，S_△BCD=

1

2

BC•DF，S_△ABC=

1

2

BC•AH，
∵S_△ADC-S_△BCD=S_△ABC，
∴∴

1

2

AC•DE-

1

2

BC•DF=

1

2

BC•AH，
即AC•DE-BC•DF=BC•AH，
∵AC=BC，
∴DE-DF=AH．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，在解題時(shí)利用等積法找到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．