Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D是斜邊BC的中點，點E、F分別為AB、AC邊上的點，且DE⊥DF．
（1）判斷DF與DE的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）若BE=8，CF=6，求△DEF的面積．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接AD，首先利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，AD=CD=BD，從而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA證得DCF≌△ADE后即可證得DF=DE；
（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF為等腰直角三角形，在Rt△AEF中，運用勾股定理可將EF的值求出，進而可求出DE、DF的值，代入S_△EDF=

1

2

DE²進行求解．

解答：解：（1）連接AD，
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△ADE中，

∠C=∠DAE ∠CDF=∠ADE CD=AD

，
∴△DCF≌△ADE（AAS），
∴DF=DE；

（2）解：由（1）知：AE=CF=6，同理AF=BE=8．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=6²+8²=100．
∴EF=10，
又∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF為等腰直角三角形，DE²+DF²=EF²=100，
∴DE=DF=5

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×（5

2

）²=25．

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等．