Question

如圖，AB是半圓O的直徑，過半圓O上的一點D分別作AB的垂線與半圓O的切線，交直線AB于點E與點C，過點B平行于CD的直線交DE于點F，連接OD，BD．
（1）求證：BF=DF；
（2）若EF=3，，求線段BC的長．

Answer 1

（1）證明：∵CD是切線，∴OD⊥CD，即∠BDC+∠ODB=90°．
∵DE⊥AB，∴∠BDE+∠OBD=90°．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∴∠BDC=∠BDE．
又∵BF∥CD，∴∠BDC=∠DBF．
∴∠BDE=∠DBF．
∴BF=DF．

（2）解：∵∠BOD+∠ODE=90°，∠CDE+∠ODE=90°，
∴∠BOD=∠CDE．
又∵BF∥CD，∴∠BFE=∠CDE．
∴∠BOD=∠BFE．
在Rt△BEF中，∵，
∴．
∵BE²+EF²=BF²，∴，
解得BF=5．∴BE=4，DF=5．
∵BF∥DC，∴=，得，
∴．
分析：（1）若要證BF=DF，則需證∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠DBF，再證∠BDC=∠BDE，由∠BDC+∠ODB=90°和∠BDE+∠OBD=90°即可證得．
（2）此題可先由（1）得∠BFE=∠BOD，在Rt△BEF中求得各邊的長，則DF也可求出，再由BF∥DC得=，解得BC的長．
點評：本題考查了切線的性質、解直角三角形等綜合性問題，難度稍大．