Question

在△ABC中，AB=AC，D是BC邊長任意一點，點C₁是C點關(guān)于直線AD的對稱點，C₁B與AD相交于P，試問：當(dāng)點D在BC（BC中點除外）運動時，AD•AP的值有何變化？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

AD•AP的值為一定值．
證明：如圖，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵點C₁是C點關(guān)于直線AD對稱，
∴∠C₁=∠C=∠ABC，∠C₁AP=∠1，
∴A、C₁、B、D四點共圓，
∴∠PBC=∠C₁AP=∠1，
∴C、A、B、P四點共圓，
∴∠P=∠C=∠ABD，又∠BAP=∠DAB，
∴△ABD∽△APB，
∴=，
即AD•AP=AB²為一定值．
分析：由AB=AC以及對稱性可得角相等，得出A、C₁、B、D四點共圓，進而又可得出C、A、B、P四點共圓，再由△ABD∽△APB得出對應(yīng)線段成比例，進而可求解結(jié)論．
點評：本題主要考查了有關(guān)圓的四點共圓問題以及相似三角形的判定及性質(zhì)，能夠掌握并熟練運用．