Question

7．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個(gè)結(jié)論：
①AD⊥EF；
②OA=OD；
③當(dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形．
④AE²+DF²=AF²+DE²；
其中正確的是①③④．

Answer 1

分析 由AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF，繼而證得AE=AF，則可得AD是EF的垂直平分線；判定AD⊥EF；OA不一定等于OD；又由當(dāng)∠A=90°時(shí)，可得四邊形AEDF矩形，繼而證得四邊形AEDF是正方形；由AE=AF，DE=DF，即可判定AE²+DF²=AF²+DE²．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，
∵∠ADE=90°-∠DAE，∠ADF=90°-∠DAF，
∴∠ADE=∠ADF，
∴AE=AF，
∴點(diǎn)A在EF的垂直平分線上，點(diǎn)D在EF的垂直平分線上，
∴AD是EF的垂直平分線，
即AD⊥EF；故①正確；
∵AD是EF的垂直平分線，
∴OE=OF，OA不一定等于OD；故②錯(cuò)誤；
∵∠AED=∠EFD=90°，
∴當(dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AEDF是矩形，
∵DE=DF，
∴四邊形AEDF是正方形；故③正確；
∵AE=AF，DE=DF，
∴AE²+DF²=AF²+DE²，∴④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、正方形的判定以及勾股定理等知識(shí)．注意證得AD是EF的垂直平分線是關(guān)鍵．