Question

任給一個自然數(shù)N，把N的各位數(shù)字按相反的順序寫出來，得到一個新的自然數(shù)N′，試證明：|N-N′|能被9整除．

Answer 1

令N=

.

a 1a 2an

，則N′=

.

a na n-1a1

．
所以，N除以9所得的余數(shù)等于a₁+a₂+…+a_n除以9所得的余數(shù)，
而N′除以9所得的余數(shù)等于a_n+a_n-1+…+a₁除以9所得的余數(shù)．
顯然，a₁+a₂+…+a_n=a_n+a_n-1+…+a₁．因此，N與N′除以9所得的余數(shù)相同，從而|N-N'|能被9整除．