Question

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=\frac{2\sqrt{3}}{x}的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B，D，已知點(diǎn)A（-a，O）、C（a，0）．
（1）直接判斷并填寫：四邊形ABCD的形狀一定是______；
（2）①當(dāng)點(diǎn)B為（p，2）時，四邊形ABCD是矩形，試求p，k，和a的值；
②觀察猜想：對①中的a值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個？（不必說理）
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

Answer 1

解：（1）是平行四邊形．
理由如下：
∵A（-a，0）、C（a，0），
∴OA=OC，
由對稱性可知OB=OD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；

（2）①∵點(diǎn)B為（p，2），
∴\frac{2\sqrt{3}}{p}=2，
解得：p=\sqrt{3}，
∴點(diǎn)B（\sqrt{3}，2），
∴\sqrt{3}k=2，
解得：k=\frac{2\sqrt{3}}{3}，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=\frac{1}{2}AC，OC=\frac{1}{2}BD，
∴OB=OC，
∵OB=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{7}，
∴a=\sqrt{7}；

②對①中的a值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有2個．
理由：當(dāng)a=時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（\sqrt{7}，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-\sqrt{7}，0），
若四邊形ABCD是矩形，則有OB=OC=\sqrt{7}，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），得：\begin{cases} {x^{2}+y^{2}=(\sqrt{7})^{2}} \\ {xy=2\sqrt{3}} \end{cases}，
解得：\begin{cases} {x=\sqrt{3}} \\ {y=2} \end{cases}或\begin{cases} {x=2} \\ {y=\sqrt{3}} \end{cases}（負(fù)值舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（\sqrt{3}，2）或（2，\sqrt{3}）；

（3）四邊形ABCD不能是菱形．
理由：若四邊形ABCD是菱形，
則BD⊥AC，
∵點(diǎn)A、點(diǎn)C在x軸上，
∴直線BD與y軸重合，這與“雙曲線y=\frac{2\sqrt{3}}{x}不與坐標(biāo)軸相交”矛盾，
∴四邊形ABCD不可能是菱形．
分析：（1）四邊形ABCD為平行四邊形，理由為：由A與C的坐標(biāo)得到OA與OC相等，又根據(jù)對稱的性質(zhì)得到OB與OD相等，然后根據(jù)對角線平分的四邊形為平行四邊形得證；
（2）①把點(diǎn)B（p，2）代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得p的值，然后代入正比例函數(shù)y=kx，即可求得k的值，又由四邊形ABCD是矩形，可得OB=OC，即可求得a的值；
②由a=\sqrt{7}，即可確定出A與C的坐標(biāo)，又根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等，得到OB與OC相等都等于\sqrt{7}，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），代入到反比例解析式中得到一個方程，由兩點(diǎn)的距離公式，列出另一個方程，兩方程聯(lián)立即可求出x與y的值，進(jìn)而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）利用反證法來證，先假設(shè)四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的對角線互相平分且互相垂直，得到AC與BD垂直，又A與C在x軸上，故B與D在y軸上，與雙曲線y=\frac{2\sqrt{3}}{x}不與坐標(biāo)軸相交矛盾，則可證得四邊形ABCD不能是菱形．
點(diǎn)評：點(diǎn)評：此題考查了平行四邊形、矩形的性質(zhì)，反證法以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合．要求學(xué)生掌握平行四邊形及矩形的性質(zhì)，理解反證法的步驟，綜合運(yùn)用所學(xué)知識，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題及解決問題的能力．學(xué)生在作第二問，求B坐標(biāo)時注意B點(diǎn)在第一象限這個條件．其中反證法的步驟為：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證的定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立．