Question

11．線段BD上有一點C，分別以BC、CD為邊作等邊三角形ABC和等邊三角形ECD，連接BE交AC于M，連接AD交CE于N，連接MN，求證：
（1）∠1=∠2；
（2）CM=CN；
（3）△CMN為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，推出∠ACE=∠DCB，證得△ACE≌△DCB（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由于∠ACD=∠BCE=60°，得到∠DCE=60°，求得∠ACD=∠MCN=60°，證得△ACM≌△DCN（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)平角的定義得到∠MCN=180°-∠MCA-∠NCB=180°-60°-60°=60°，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE與△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠1=∠2；

（2）∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠MCN=60°，
在△ACM與△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{DC=AC}\\{∠DCE=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN；

（3）∵∠MCN=180°-∠MCA-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∵CM=CN；
∴△CMN是等邊三角形，

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，證得△ACE≌△DCB是解題的關(guān)鍵．