Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過A（4，0），B（1，0）兩點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）若拋物線與直線y=

1

2

x+c有交點時，求c的取值范圍；
（3）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）本題需先根據(jù)圖象過A，B兩點，即可得出解析式．
（2）拋物線與直線有交點，聯(lián)立兩直線方程求解，△≥0，即可求得c的取值范圍．
（3）本題首先判斷出存在，首先設(shè)出橫坐標和縱坐標，從而得出PA的解析式，再分三種情況進行討論，當

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

時和當

AM

PM

=

AO

OC

=

1

2

時，得出△APM∽△ACO△APM∽△CAO，分別求出點P的坐標即可．

解答：解：（1）將A（4，0），B（1，0）的坐標代入y=ax²+bx-2得

16a+4b-2=0 a+b-2=0

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2

，
故此拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）

y= 1 2 x+c y=- 1 2 x2+ 5 2 x-2

 有交點，
即

1

2

x+c=-

1

2

x²+

5

2

x-2，化簡為

1

2

x²-2x+2+c=0，
△≥0，即2²-4×

1

2

×（2+c）≥0，
解得c≤0．

（3）存在．
設(shè)點P的橫坐標為m，則P的縱坐標為-

1

2

m²+

5

2

m-2，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

時，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2）
解得：m₁=2，m₂=4（舍去），
則P（2，1），
②當

AM

PM

=

AO

OC

=

1

2

時，
△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
解得：m₁=4，m₂=5（均不合題意，舍去），
故符合條件的點P的坐標為P（2，1）．

點評：本題考查了拋物線解析式的求法，兩曲線相交轉(zhuǎn)化為根判別式求解，拋物線與相似三角形的問題，綜合性較強，是一道好題．