Question

2．一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF），其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中點(diǎn)，將它們平放在桌面上，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，DF與AB在一條直線上．

（1）將三角板DEF繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至DF⊥AC于點(diǎn)M，DE⊥BC于點(diǎn)N，如圖所示，求證：OM=ON；
（2）將圖1中的Rt△DEF繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)如圖所示的位置，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC相交于點(diǎn)N，試判斷線段OM于ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）將圖1中的Rt△DEF沿著射線OA平移至如圖3所示的位置，點(diǎn)D在線段AO上且不與A點(diǎn)重合，F(xiàn)D與CA垂直相交于點(diǎn)M，BC與DE垂直相交于點(diǎn)N，連接OM，ON，MN，試判斷△MNO的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得出即可；
（2）證△OMA≌△ONC（ASA），即可得出答案；
（3）求出矩形DMCN，得出CM=DN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC+∠CON=∠NOB+∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，∵∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，DF⊥AC，
∴∠DNC=90°，
∴DE⊥BC，
連接CO，則CO是AB邊上中線，
∵CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分線．
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴OM=ON．
（2）OM=ON，
理由：如圖2，連接CO，則CO是AB邊上中線，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分線，∠BAC=45°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OA，OC⊥AB，
∴∠OCB=45°，
∴∠OAM=∠OCN=45°，
∵∠AOM+∠MOC=90°=∠CON+∠MOC，
∴∠AOM=∠CON，
在△OMA與△ONC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠OCN}\\{OA=OC}\\{∠AOM=∠CON}\end{array}\right.$
∴△OMA≌△ONC（ASA）．
∴OM=ON．
（3）△OMN是等腰直角三角形，
理由：如圖3，
∵∠ACB=90°，F(xiàn)D與CA垂直相交于點(diǎn)M，BC與DE垂直相交于點(diǎn)N，
∴四邊形MDNC是矩形，
∴MC=DN，
∵DE⊥BC，∠B=45°，
∴∠NDB=45°，
∴∠NDB=∠B，
∴BN=DN，
∴MC=BN，
連接CO，則CO是AB邊上中線，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分線，∠BAC=45°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OB，OC⊥AB，
∴∠OCA=45°，
∴∠OCA=∠B=45°，
在△OMC與△ONB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=BN}\\{∠OCM=∠B}\\{OC=OB}\end{array}\right.$
∴△OMC≌△ONB（SAS）．
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∵∠CON+∠BON=90°，
∴∠COM+∠CON=90°，
即∠MON=90°，
∴OM⊥ON，
∴△OMN是等腰直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，綜合性也比較強(qiáng)．