Question

7．如圖，點(diǎn)B（2，2）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，點(diǎn)C在雙曲線y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）上，點(diǎn)A是x軸上一動點(diǎn)，連接BC、AC、AB．

（1）求k的值；
（2）如圖1，當(dāng)BC∥x軸時，△ABC的面積；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到x軸正半軸時，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把B坐標(biāo)代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$解析式，即可求出k的值；
（2）若BC與x軸平行，則有C與B縱坐標(biāo)相同，把B縱坐標(biāo)代入雙曲線y=-$\frac{3}{x}$中，求出x的值，確定出C坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC的長，三角形ABC面積以BC為底邊，B縱坐標(biāo)為高，求出即可；
（3）過點(diǎn)B、C作x軸的垂線，垂足為M、N，利用AAS得到三角形ABM與三角形CAN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BM=AN，AM=CN，設(shè)OA=x，表示出C坐標(biāo)，代入雙曲線解析式列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出A的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把B（2，2）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）中，得：k=4；
（2）∵BC∥x軸，
∴B與C縱坐標(biāo)相同，
把y=2代入y=-$\frac{3}{x}$中，得：x=-$\frac{3}{2}$，即C（-$\frac{3}{2}$，2），
∴BC=2+$\frac{3}{2}$=3.5，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•y_{B縱坐標(biāo)}=3.5；
（3）過點(diǎn)B、C作x軸的垂線，垂足為M、N，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AC=BC，
∴∠ACN+∠CAN=90°，∠BAM+∠CAN=90°，
∴∠ACN=∠BAM，
在△ABM和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠ACN}\\{∠AMB=∠CNA=90°}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AN=MB=2，CN=AM，
設(shè)OA=a，則有ON=AN-OA=2-a，CN=AM=OM-OA=2-a，
∴C（a-2，2-a）（a＜2），
把C坐標(biāo)代入y=-$\frac{3}{x}$中，得：-（2-a）²=-3，
解得：a=2-$\sqrt{3}$．
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2-$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．