Question

如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，EA的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F，設(shè)CD=n，
（1）當(dāng)n=1時(shí)，則AF=______；
（2）當(dāng)0＜n＜1時(shí)，如圖2，在BA上截取BH=AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形．

Answer 1

（1）∵△BDE是等邊三角形，
∴∠EDB=60°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴FAC=180°-60°-60°=60°，
∴∠F=180°-90°-60°=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=180°-90°，
∴AF=2AC=2×1=2；

（2）證明：∵△BDE是等邊三角形，
∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，
即∠ADE+60°=∠CBD+90°，
∴∠ADE=30°+∠CBD，
∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，
∴∠HBE=30°+∠CBD，
∴∠ADE=∠HBE，
在△ADE與△HBE中，

BH=AD ∠ADE=∠HBE BE=BD

，
∴△ADE≌△HBE（SAS），
∴AE=HE，∠AED=∠HEB，
∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，
即∠AEH=∠BED=60°，
∴△AEH為等邊三角形．