Question

2．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．
①求證：四邊形AMCN是菱形．
②若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求$\frac{MN}{DN}$的值．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AMCN是平行四邊形，再由翻折得AM=CM，則四邊形AMCN是菱形．
（2）根據(jù)題意求出$\frac{MC}{DN}=\frac{3}{1}$，設(shè)MC=3λ；用λ來表示CD、AB的長，運(yùn)用面積公式即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖，

連接BD，則BD過點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠OBM=∠ODN，
在△OBM和△ODN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠ODN}\\{OB=OD}\\{∠BOM=∠ODN}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△ODN，
∴BM=DN；
∴AN=CM，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
由翻折得，AM=CM，
∴四邊形AMCN是菱形．
（2）：∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴$\frac{\frac{1}{2}MC•DC}{\frac{1}{2}DN•DC}=\frac{3}{1}$，即$\frac{MC}{DN}=\frac{3}{1}$，
設(shè)MC=3λ，則DN=λ，AD=4λ，CN=3λ；
由勾股定理得：CD²=CN²-DN²=8λ²，
∴CD=2$\sqrt{2}$λ；同理可求AC=2$\sqrt{6}$λ；
由面積公式得：MC•CD=$\frac{1}{2}$AC•MN，
即3λ•2$\sqrt{2}$λ=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$λ•MN，
∴MN=2$\sqrt{3}$λ，
∴$\frac{MN}{DN}=\frac{2\sqrt{3}λ}{λ}=2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定，注意掌握輔助線的作法，靈活利用圖形的性質(zhì)解決問題．