Question

12．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，D、E分別是AB，OA中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D的雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）與BC交于點(diǎn)G．連接DC，F(xiàn)在DC上，且DF：FC=3：1，連接DE，EF．若△DEF的面積為6，則k的值為（　　）

• A． $\frac{16}{3}$
• B． $\frac{32}{3}$
• C． 6
• D． 10

Answer 1

分析 設(shè)矩形OABC中OA=2a、AB=2b，由D、E分別是AB，OA中點(diǎn)知點(diǎn)D（b，2a）、E（0，a），過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，延長(zhǎng)PF交OA于點(diǎn)Q，可得四邊形OCPQ是矩形，即OQ=PC、PQ=OC=2b，證△CFP∽△CDB得$\frac{CP}{CB}$=$\frac{FP}{DB}$=$\frac{CF}{CD}$，可得CP=$\frac{a}{2}$，F(xiàn)P=$\frac{4}$、EQ=EO-OQ=$\frac{a}{2}$、FQ=PQ-PF=$\frac{7b}{4}$，根據(jù)S_梯形ADFQ-S_△ADE-S_△EFQ=6求得ab即可得答案．

解答 解：設(shè)矩形OABC中OA=2a，AB=2b，
∵D、E分別是AB，OA中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D（b，2a）、E（0，a），
如圖，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，延長(zhǎng)PF交OA于點(diǎn)Q，

∵四邊形OABC是矩形，
∴∠QOC=∠OCP=∠CPQ=90°，
∴四邊形OCPQ是矩形，
∴OQ=PC，PQ=OC=2b，
∵FP⊥BC、AB⊥BC，
∴FP∥DB，
∴△CFP∽△CDB，
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{FP}{DB}$=$\frac{CF}{CD}$，即$\frac{CP}{2a}=\frac{FP}=\frac{1}{4}$，
可得CP=$\frac{a}{2}$，F(xiàn)P=$\frac{4}$，
則EQ=EO-OQ=a-$\frac{a}{2}$=$\frac{a}{2}$，F(xiàn)Q=PQ-PF=2b-$\frac{4}$=$\frac{7b}{4}$，
∵△DEF的面積為6，
∴S_梯形ADFQ-S_△ADE-S_△EFQ=6，
即$\frac{1}{2}$•（b+$\frac{7}{4}$b）•$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$ab-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{4}$b•$\frac{a}{2}$=6，
可得ab=$\frac{16}{3}$，
則k=2ab=$\frac{32}{3}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義及相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的面積，利用相似三角形的判定與性質(zhì)表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．