Question

9．如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標記為S₁，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S₂，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S₂₀₁₆的值為（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹³
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁴
• C． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹³
• D． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可得出部分S_n的值，根據(jù)面積的變化即可找出變化規(guī)律“S_n=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$”，依此規(guī)律即可解決問題．

解答 解：觀察，發(fā)現(xiàn)：S₁=2²=4，S₂=$（2×\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=2，S₃=$（\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，S₄=$（1×\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$，…，
∴S_n=$[2×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n-1}]^{2}$=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴S₂₀₁₆=4×$（\frac{1}{2}）^{2016-1}$=$（\frac{1}{2}）^{2013}$．
故選C．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“S_n=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$”是解題的關(guān)鍵．