Question

5．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點D，交AC邊于點E，連結(jié)DE，下列五個結(jié)論：
①BD=DE；②△CDE是等腰三角形；③2DE²=CA•CE；④DE=AB•sinB；⑤$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△ABC}}$=cos²C．其中正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 連接AD，根據(jù)圓周角定理得出AD⊥BC，BE⊥AC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出CD=BD，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出DE=DC=BD，即可判斷①②正確；證得△DCE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{CE}{BC}$=$\frac{DE}{CA}$，進一步得出2DE²=CA•CE，即可判斷③正確；通過解直角三角形即可判斷④錯誤；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EC}{BC}$）²，又因為在RT△BEC中，sinC=$\frac{EC}{BC}$，即可判斷⑤正確．

解答 解：連接AD，
∵AB為直徑，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∵AB=AC，
∴DC=BD，
∴DE=DC=BD，故①②正確；
∵∠CED=∠ABD=∠ACD，
∴△DCE∽△ABC，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{DE}{CA}$，
∵BC=2DE，
∴2DE²=CA•CE，故③正確；
∵sinB=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=AB•sinB，
∵AD≠DE，
∴DE≠AB•sinB，故④錯誤；
∵△DCE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EC}{BC}$）²，
∵AB為直徑，
∴∠CEB=90°，
∴sinC=$\frac{EC}{BC}$，
∴$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△ABC}}$=cos²C，故⑤正確；
所以正確的結(jié)論有①②③⑤4個，
故選D．

點評 本題考查了圓周角定理，直角三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．