Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，求∠CNA的度數．

Answer 1

（1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半徑．
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵點M是的中點，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵PC=AC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠P，
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
∴3∠P=90°
∴∠P=30°，
∴∠A=30°，
∴∠CNA=180°-∠ACM-∠A=180°-45°-30°=105°．
分析：（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（2）由點M是弧AB的中點，即可求得∠ACM的度數，又由PC=AC得到∠A=∠P，接著得到∠A=∠ACO=∠P，而∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°，利用這個等式和已知條件即可求出∠P，然后根據三角形內角和定理，即可求得∠CNA的度數．
點評：此題考查了圓的切線的判定、圓周角定理以及三角形內角和定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．