Question

14．如圖，拋物線y=$\frac{1}{{t}^{2}}$（x+t）（x-3t）交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸于點C，點D，E均在拋物線上，且CD∥x軸，∠EAD=2∠ADC，求$\frac{AD}{AE}$的值．

Answer 1

分析 點D、E分別做x軸的垂線，用t表示點A、B的坐標(biāo)，根據(jù)CD∥AB確定點D的坐標(biāo)，證明△ADM∽△AEN，得到成比例線段，代入計算即可．

解答 解：過點D、E分別做x軸的垂線，垂足為M、N，
由$\frac{1}{{t}^{2}}$（x+t）（x-3t）=0得，x₁=-t，x₂=3t，
則A（-t，0），B（3t，0），
∵CD∥AB，∴點D的坐標(biāo)為（2t，-3），∠BAD=∠CDA，
∵∠EAD=2∠ADC，∴∠DAM=∠EAN，又∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DM}{EN}$，
設(shè)點E的坐標(biāo)為（x，$\frac{{x}^{2}}{{t}^{2}}$-$\frac{2x}{t}$-3），
則$\frac{3}{\frac{{x}^{2}}{{t}^{2}}-\frac{2x}{t}-3}$=$\frac{3t}{x-（-t）}$，
解得x=4t，∴E（4t，5），
∵AM=AO+OM=t+2t=3t，AN=AO+ON=t+4t=5t，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AM}{AN}=\frac{3}{5}$．

點評 題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、三角形相似的判定和性質(zhì)，正確找出輔助線、運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，注意坐標(biāo)與圖形的關(guān)系．