Question

7．如圖，一次函數y₁=k₁x+b（k₁＞0）的圖象經過點C（-3，0），且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3．
（1）求該一次函數的解析式；
（2）若反比例函數y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象與該一次函數的圖象交于一、三象限內的A、B兩點，且AC=2BC．求k₂的值；
（3）在（2）的條件下，請寫出當x在什么范圍時，y₁＞y₂？

Answer 1

分析 （1）先一次函數y₁=k₁x+b（k₁＞0）的圖象經過點C（-3，0），得出OC=3，由于一次函數y=k₁x+b的圖象與y軸的交點是（0，b），根據三角形的面積公式可求得b的值，然后利用待定系數法即可求得函數解析式；
（2）作AE⊥x軸于點E，BF⊥x軸于點F，則AE∥BF．由△ACE∽△BCF，對應邊成比例得出AE=2BF．設B點縱坐標為-n，則A點縱坐標為2n．由直線AB的解析式得出A（3n-3，2n），B（-3-$\frac{3}{2}$n，-n），再根據反比例函數y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象經過A、B兩點，列出方程，解方程求出n的值，即可求得k₂．
（3）求出A、B的坐標，根據圖象即可求得．

解答 解：∵一次函數y₁=k₁x+b（k₁＞0）的圖象經過點C（-3，0），
∴OC=3，
∵△COD的面積等于3，
∴$\frac{1}{2}$OC•OD=3，
∴$\frac{1}{2}$×3•OD=3，
解得：OD=2．
∴b=2，
∴y₁=k₁x+2，
把（-3，0）代入得：0=-3k₁+2，解得k₁=$\frac{2}{3}$，
故這個一次函數的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+2；

（2）如圖，作AE⊥x軸于點E，BF⊥x軸于點F，則AE∥BF．
∴△ACE∽△BCF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=2，
∴AE=2BF．
設B點縱坐標為-n，則A點縱坐標為2n．
∵直線AB的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+2，
∴A（3n-3，2n），B（-3-$\frac{3}{2}$n，-n），
∵反比例函數y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象經過A、B兩點，
∴（3n-3）•2n=（-3-$\frac{3}{2}$n）•（-n），
解得n₁=2，n₂=0（不合題意舍去），
∴k₂=（3n-3）•2n=3×4=12．
（3）∵n=2，
∴A（3，4），B（-6，-2），
由圖象可知當-6＜x＜0或x＞3時，y₁＞y₂．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積，相似三角形的判定與性質，一次函數、反比例函數圖象上點的坐標特征，難度適中．正確求出一次函數的解析式是解題的關鍵．