Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD=4，DC=5，AB=8．如果點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，t的值為$\frac{40}{11}$、$\frac{48}{11}$或4．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和余弦公式列出等式求解，即可求的結(jié)論．

解答 解：如圖1，作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四邊形AECD是矩形，
∴AE=CD=5，CE=AD=4，
∴BE=3，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
cos∠B=$\frac{3}{5}$，
①當(dāng)PQ=PB時(shí)（如圖2所示），則BG=$\frac{1}{2}$BQ，$\frac{BG}{PB}$=$\frac{\frac{1}{2}（8-t）}{t}$=$\frac{3}{5}$，
解得：t=$\frac{40}{11}$s，
②當(dāng)PQ=BQ時(shí)（如圖3所示），則BG=$\frac{1}{2}$PB，$\frac{BG}{BQ}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{8-t}$=$\frac{3}{5}$，
解得t=$\frac{48}{11}$s，
③當(dāng)BP=BQ時(shí)（如圖4所示），則8-t=t，
解得：t=4．
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{40}{11}$s，$\frac{48}{11}$s或t=4s時(shí)，△PQB為等腰三角形．

故答案為：$\frac{40}{11}$、$\frac{48}{11}$或4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定以及等腰三角形的性質(zhì)，能根據(jù)已知條件把所需線段用含t的代數(shù)式表示來，靈活用用三角形的性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵，要注意分類思想、方程思想的應(yīng)用．