Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD=2，△ABE與△DCE的面積之比為4：1，試求AB及∠AED．

Answer 1

分析：根據面積比等于相似比平方可得出AB的長度，過點O作OF⊥CD于點F，可求出∠COF=30°，∠OCF=60°，而∠AED=∠EBA+∠EAB=∠DCA+∠ACO=∠FCO，從而可得出答案．

解答：
解：由題意得，∠DCE=∠ABE，∠EAB=∠EDC，
故△ABE∽△DCE，
∵△ABE與△DCE的面積之比為4：1，
∴（

AB

DC

）²=4：1，
故可求得AB=4，
過點O作OF⊥CD于點F，連接OC，
則CF=DF=1，OC=2，
在Rt△OCF中，可得∠COF=30°，∠OCF=60°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
故可得∠AED=∠EBA+∠EAB=∠DCA+∠ACO=∠FCO=60°．
綜上可得AB=4，∠AED=60°．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理，有一定難度，注意掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．