Question

如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與AC、CB分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：利用勾股定理的逆定理，由三角形的三邊長(zhǎng)可得△ABC為Rt△，根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑得出PQ為圓的直徑，又圓與AB相切，設(shè)切點(diǎn)為D，可知當(dāng)CD⊥AB時(shí)，根據(jù)點(diǎn)到直線的垂線段最短可得CD最短，此時(shí)PQ亦最小，由三角形ABC為直角三角形，根據(jù)直角三角形的三邊長(zhǎng)，利用面積法即可求出CD的長(zhǎng)，即為PQ的最小值．

解答：解：結(jié)合題意得，AB²=AC²+BC²，
∴△ABC為RT△，即∠C=90°，可知PQ為圓的直徑，
設(shè)圓與AB的切點(diǎn)為D，連接CD，
當(dāng)CD⊥AB，即CD是圓的直徑的時(shí)候，PQ長(zhǎng)度最小，
則PQ的最小值是

3×4

5

=2.4．
故答案為：2.4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，垂線段最短以及切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出PQ為圓的直徑，故當(dāng)CD是直徑時(shí)PQ最小．