Question

6．如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD=DE，連結(jié)BE，分別交AC，AD于點F、G，連結(jié)OG，則下列結(jié)論：
①OG=$\frac{1}{2}$AB；
②圖中與△EGD全等的三角形共有5個；
③由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；
④S_{四邊形ODGF}=S_△ABF，其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①③
• B． ①③④
• C． ①②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①正確．只要證明OG是△ACD的中位線即可；
②錯誤．可以證明△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG；
③正確．由OB=OD，AG=DG，推出OG是△ABD的中位線，推出OG∥AB，OG=$\frac{1}{2}$AB，推出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，推出△GOD的面積=$\frac{1}{4}$△ABD的面積，△ABF的面積=△OGF的面積的4倍，AF：OF=2：1，推出△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，因為△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，即可推出S_{四邊形ODGF}=S_△ABF；
④正確．根據(jù)鄰邊相等的四邊形是菱形即可證明．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠EDG}\\{∠AGB=∠DGE}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位線，
∴OG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴①正確；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等邊三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四邊形ABDE是菱形，
④正確；
∴AD⊥BE，
由菱形的性質(zhì)得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=AG}\\{∠ODC=∠BAG=60°}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，
∴②不正確；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位線，
∴OG∥AB，OG=$\frac{1}{2}$AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面積=$\frac{1}{4}$△ABD的面積，△ABF的面積=△OGF的面積的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，
又∵△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，
∴S_{四邊形ODGF}=S_△ABF；
③正確；
正確的是①③④．
故選B．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大．