Question

4．如圖，在△ABC中，AC=8，AB=10，∠BAC=60°，⊙O與AB，AC都相切，與AB的切點(diǎn)為E．
（1）求⊙O的面積y關(guān)于EA的長(zhǎng)x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)⊙O為△ABC的內(nèi)切圓時(shí)，求x和y的值．
（3）P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為半徑的⊙P分別交AB，AC于點(diǎn)F，G，連結(jié)FG．若EA=$\sqrt{3}$，求FG的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AO，OE，在Rt△AOE中，求出OE（用x的代數(shù)式表示），然后利用圓面積公式即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，作CM⊥AB于M．首先求出BC，設(shè)AC，BC分別切⊙O于點(diǎn)F，G，由⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)AF=AE=x，設(shè)CF=CG=a，BE=BG=b，列出方程組求解即可．
（3）如圖3中，連接AO交⊙O于P，延長(zhǎng)AO交⊙O于P₁，①當(dāng)⊙P 的半徑為AP時(shí)，GF的值最小，②當(dāng)⊙P 的半徑為AP₁時(shí)，G₁F₁的值最大，由①可知△G₁F₁A是等邊三角形，利用△AFG是等邊三角形即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1，連接AO，OE，

∵⊙O與AB，AC都相切，∠BAC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵y=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²π=$\frac{π}{3}$x²；

（2）如圖2中，作CM⊥AB于M．

在Rt△ACM中，∵∠CAM=60°，AC=8，∠AMC=90°，
∴∠ACM=30°，AM=$\frac{1}{2}$AC=4，BM=AB-AM=6，CM=4$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{C{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
設(shè)AC，BC分別切⊙O于點(diǎn)F，G，
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴AF=AE=x，設(shè)CF=CG=a，BE=BG=b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+a=8}\\{x+b=10}\\{a+b=2\sqrt{21}}\end{array}\right.$，
∴x=9-$\sqrt{21}$，
∴y=34π-6$\sqrt{21}$π；

（3）如圖3中，連接AO交⊙O于P，延長(zhǎng)AO交⊙O于P₁，

①當(dāng)⊙P 的半徑為AP時(shí)，GF的值最小，
∵∠CAB=60°，OE⊥AE，
∴∠OAB=∠OAC=30°，
∴AO=2OE，
∴AP=OP=PG=PF，
∴E、F重合，
∴AP垂直平分GF，
∴AG=AF，∵∠GAF=60°，
∴△AGF是等邊三角形，
∵AE=$\sqrt{3}$，
∴AE=AG=GF=$\sqrt{3}$，
∴FG的最小值為$\sqrt{3}$．
②當(dāng)⊙P 的半徑為AP₁時(shí)，G₁F₁的值最大，由①可知△G₁F₁A是等邊三角形，
∵AP₁=P₁G₁=P₁F₁=3，
∴G₁F₁=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴FG的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、切線長(zhǎng)定理、直角三角形30度角性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三元一次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，學(xué)會(huì)利用特殊點(diǎn)解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．