Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．
（1）求A、B兩點的坐標及直線AC的函數表達式；
（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點．求線段PE長度的最大值；
（3）若點G是拋物線上的動點，點F是x軸上的動點，判斷有幾個位置能使以點A、C、F、G為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點F的坐標．

Answer 1

解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
將C點的橫坐標x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
∴直線AC的函數解析式是y=-x-1；

（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），
E（x，x²-2x-3），
∵P點在E點的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-）²+，
∴當x=時，PE的最大值=，
（3）存在4個這樣的點F，分別是F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃（4+，0），F₄（4-，0），

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標是（-3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點的坐標為（-1，0），因此F點的坐標為（1，0）；

③如圖，此時C，G兩點的縱坐標關于x軸對稱，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標為（1+，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+，因此直線GF與x軸的交點F的坐標為（4+，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標為（4-，0）．
綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點．
分析：（1）因為拋物線與x軸相交，所以可令y=0，解出A、B的坐標．再根據C點在拋物線上，C點的橫坐標為2，代入拋物線中即可得出C點的坐標．再根據兩點式方程即可解出AC的函數表達式；
（2）根據P點在AC上可設出P點的坐標．E點坐標可根據已知的拋物線求得．因為PE都在垂直于x軸的直線上，所以兩點之間的距離為y_p-y_E，列出方程后結合二次函數的性質即可得出答案；
（3）存在四個這樣的點．分別是F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃（4+，0），F₄（4-，0），此小題要分三種情況討論．
點評：本題著重考查了待定系數法求一次函數解析式、平行四邊形的判定、二次函數的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．