Question

18．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，G是△ABC的重心，連接AG，BG，CG
（1）當(dāng)直角邊AC的長(zhǎng)度變化時(shí)，線段AG，BG，CG的長(zhǎng)度是否隨之變化？若有不變的，求出其中長(zhǎng)度不變的線段的長(zhǎng)；
（2）設(shè)AC=x，AG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）△ACG是否能成為等腰三角形？若能，求出此時(shí)AC的長(zhǎng)；若不能請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重心的特點(diǎn)，即可得出結(jié)論；
（2）利用重心特點(diǎn)，列出邊與邊的關(guān)系，結(jié)合勾股定理即可解決；
（3）假設(shè)成立，利用分類的方法分別討論，可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由三角形重心的特點(diǎn)可知，
G為三角形三條中位線的交點(diǎn)，且有CG=2GE，CG=$\frac{2}{3}$CE，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CG=2，
而隨著直角邊AC的長(zhǎng)度變化時(shí)，線段AG，BG都會(huì)變化，
∴當(dāng)直角邊AC的長(zhǎng)度變化時(shí)只有CG不變，且CG=2．
（2）延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D，作圖如下：

AC=x，AB=6，且∠ACB=90°，
由勾股定理，得BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{36-{x}^{2}}$，
∵G是△ABC的重心，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{36-{x}^{2}}$，
由勾股定理，得AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{36-{x}^{2}}{4}}$，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{{x}^{2}+\frac{36-{x}^{2}}{4}}$=y，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴0＜x＜6，
故y=$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+4}$（0＜x＜6）．
（3）假設(shè)△ACG能成為等腰三角形，
①當(dāng)AC=AG時(shí)，有$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+4}$=x，即x²=6，
解得，此時(shí)x=$\sqrt{6}$．
②當(dāng)AC=CG時(shí)，
∵CG=2，0＜x＜6，
此時(shí)x=2．
③當(dāng)AG=CG時(shí)，有$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+4}$=2，即x²=0，
不符合，舍去．
綜上，當(dāng)AC長(zhǎng)為2或者$\sqrt{6}$時(shí)，△ACG是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形重心的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是用好重心特點(diǎn)中邊與邊的關(guān)系．