Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=10，點Q是BC的中點，點P在AD邊上運動，當△BPQ是腰長為5的等腰三角形時，AP的長度為

2或3或8

．

Answer 1

分析：先求出BQ=5，再分①PQ=BQ=5時，過點P作PE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理求出QE，再求出BE，即可得到AP；②BP=BQ=5時，過點P作PE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理列式求出BE，即可得到AP；③PQ=BQ=5且△PBQ為鈍角三角形時，BE=QE+BQ，計算即可得解．

解答：解：∵AD=10，點Q是BC的中點，
∴BQ=

1

2

BC=

1

2

×10=5，
①如圖1，PQ=BQ=5時，過點P作PE⊥BC于E，
根據(jù)勾股定理，QE=

PQ2-PE2

=

52-42

=3，
∴BE=BQ-QE=5-3=2，
∴AP=BE=2；
②如圖2，BP=BQ=5時，過點P作PE⊥BC于E，
根據(jù)勾股定理，BE=

PB2-PE2

=

52-42

=3，
∴AP=BE=3；
③如圖3，PQ=BQ=5且△PBQ為鈍角三角形時，
BE=QE+BQ=3+5=8，
AP=BE=8，
綜上所述，AP的長為2或3或8．
故答案為：2或3或8．

點評：本題考查了等腰三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．