Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為中點，CD⊥BE于D．
（1）判斷DC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若DC=3，⊙O半徑為5，求DE長．

Answer 1

解：（1）DC與⊙O相切．理由如下：
連結AE、OC，它們相交于F點，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵CD⊥BE，
∴∠D=90°，
∴CD∥AE，
又∵C為中點，
∴OC⊥AE，AF=EF，
∴OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；

（2）∵∠D=∠DCF=∠CFE=90°，
∴四邊形CFED為矩形，
∴EF=CD=3，DE=DF，
∴AF=3，
在Rt△OFA中，OA=5，
∴OF==4，
∴CF=OC-OF=5-4=1，
∴DE=1．
分析：（1）連結AE、OC，它們相交于F點，根據圓周角定理由AB為⊙O的直徑得到∠AEB=90°，而CD⊥BE，則CD∥AE，由于C為中點，根據垂徑定理的推論得到OC⊥AE，AF=EF，所以OC⊥CD，于是根據切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）易得EF=CD=3，DE=DF，則AF=3，再根據勾股定理計算出OF，然后計算出CF，從而可得到DE的長．
點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、勾股定理以及垂徑定理的推論．