Question

12．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作直線EF．
（1）如圖①，AB是直徑，要使EF是⊙O的切線，還須添加一個條件是（只需寫出三種情況）．
（ī）EF⊥AB  （īī）∠BAE=90°（īīī）∠ABC=∠EAC
（2）如圖（2），若AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B，則EF是⊙O的切線嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的判斷由AB⊥EF或∠BAE=90°可判斷EF為⊙O的切線；
當∠ABC=∠EAC，根據(jù)圓周角定理得∠ABC+∠CAB=90°，所以∠EAC+∠CAB=90°，即AB⊥EF，于是也可判斷EF為⊙O的切線；
（2）作直徑AD，連結(jié)CD，由AD為直徑得∠ACD=90°，則∠D+∠CAD=90°，根據(jù)圓周角定理得∠D=∠B，而∠CAE=∠B，所以∠CAE=∠D，則∠EAC+∠CAD=90°，根據(jù)切線的判定定理得到EF為⊙O的切線；

解答 （1）解：如圖1中，當AB⊥EF或∠BAE=90°可判斷EF為⊙O的切線；
當∠ABC=∠EAC，∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AB⊥EF，
∴EF為⊙O的切線；
故答案為AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；

（2）證明：如圖2，作直徑AD，連結(jié)CD，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵∠D=∠B，∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠D，
∴∠EAC+∠CAD=90°，
∴AD⊥EF，
∴EF為⊙O的切線；

點評 本題考查了圓周角定理，切線的判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，注意：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線．