Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于點(diǎn)O，過O作BC的平行線分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：OE=OF；
（2）若AD=3，BC=4，求EF的長．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴=，=，
又∵由AD∥BC得，△ACD∽△OCF，
∴=，
∴=，
∴OE=OF；

（2）解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴==，
∴==，
∵BC=4，
∴==，
解得OE=，
∴EF=OE+OF=+=．
分析：（1）由△AOE和△ABC相似可得=，由△DOF和△DBC相似可得=，由△ACD和△OCF相似可得=，從而得到=，即可得證；
（2）根據(jù)△AOD和△BOC相似求出，再求出，然后求出OE，根據(jù)EF=OE+OF即可．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)平行得到三角形相似是解題的關(guān)鍵，也是本題考查的重點(diǎn)．